Основы мат. анализа Примеры

$y = \cot (\frac{x}{2})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \cot (\frac{x}{2})$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \cot (\frac{x}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Этап 2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 3

Приравняем аргумент $\frac{x}{2}$ функции котангенса к $π$ .

$\frac{x}{2} = π$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 π$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π$

Этап 5

Основной период $y = \cot (\frac{x}{2})$ находится на промежутке $(0, 2 π)$ , где $0$ и $2 π$ являются вертикальными асимптотами.

$(0, 2 π)$

Этап 6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 6.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \cot (\frac{x}{2})$ находятся в точках $0$ , $2 π$ и в каждой точке $2 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = 2 π n$

Этап 8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 9