Основы мат. анализа Примеры

$5 \tan (x) = 5 \sqrt{3}$

Этап 1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\tan (x) = \frac{противоположные}{смежные}$

Этап 2

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{25 {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

Гипотенуза $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

Гипотенуза $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Этап 4.3.5

Найдем экспоненту.

Гипотенуза $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $25$ на $3$ .

Гипотенуза $= \sqrt{75 + {(1)}^{2}}$

Этап 4.5

Единица в любой степени равна единице.

Гипотенуза $= \sqrt{75 + 1}$

Этап 4.6

Добавим $75$ и $1$ .

Гипотенуза $= \sqrt{76}$

Этап 4.7

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 (19)}$

Этап 4.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Этап 4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

Гипотенуза $= 2 \sqrt{19}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Этап 5.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Этап 5.3.2.2

Перенесем $\sqrt{19}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 5.3.2.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 5.3.2.4

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 5.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Этап 5.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Этап 5.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{19 \cdot 3}}{2 \cdot 19}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $19$ на $3$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{2 \cdot 19}$

Этап 5.3.4

Умножим $2$ на $19$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ на $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Этап 6.3.2.2

Перенесем $\sqrt{19}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 6.3.2.4

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Этап 6.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Этап 6.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Этап 6.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Этап 6.3.3

Умножим $2$ на $19$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

Этап 7

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 7.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 7.3.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 7.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Этап 7.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Этап 7.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{1}$

Этап 8.3

Разделим $2 \sqrt{19}$ на $1$ .

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.3.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 9.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 9.3.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 9.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Этап 9.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 19}}{5 \cdot 3}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $3$ на $19$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{5 \cdot 3}$

Этап 9.3.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

$\tan (x) = 5 \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$