Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ к $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{3} - 28 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $7 x$ из $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Этап 2.1.7.1.2

Запишем $- 10$ как $2$ плюс $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Этап 2.1.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Этап 2.1.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Этап 2.1.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.1.11.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Этап 2.1.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Этап 2.1.13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Этап 2.1.13.2.2

Запишем $7$ как $1$ плюс $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Этап 2.1.13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Этап 2.1.13.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Этап 2.1.13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Этап 2.1.13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Этап 2.1.13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.1.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Этап 2.1.15.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Этап 2.1.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Этап 2.1.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 2$ (кратно $2$ )

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (кратно $1$ )

$x = - 2$ (кратно $2$ )

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (кратно $1$ )

Этап 3