Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cos (2 x) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

Противоположный $= \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Противоположный $= \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Противоположный $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

Противоположный $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

Противоположный $= \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Найдем экспоненту.

Противоположный $= \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

Противоположный $= \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

Противоположный $= \sqrt{2 - 1}$

Этап 4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

Противоположный $= \sqrt{1}$

Этап 4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

Противоположный $= 1$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Упростим значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (2 x) = \frac{1}{1}$

Этап 7.3

Разделим $1$ на $1$ .

$\tan (2 x) = 1$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (2 x)$ .

$\cot (2 x) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (2 x) = \frac{1}{1}$

Этап 8.3

Разделим $1$ на $1$ .

$\cot (2 x) = 1$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Этап 9.3

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sec (2 x) = \sqrt{2}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (2 x)$ .

$\csc (2 x) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Этап 10.3

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (2 x) = \sqrt{2}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (2 x) = 1$

$\cot (2 x) = 1$

$\sec (2 x) = \sqrt{2}$

$\csc (2 x) = \sqrt{2}$