Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $3 (1 - \cos (- θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Так как $\cos (- θ)$ — четная функция, перепишем $\cos (- θ)$ в виде $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Этап 1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Этап 1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Этап 2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Этап 2.2

Добавим $3 \cos (θ)$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 3

Заменим $2 \sin^{2} (θ)$ на $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 5

Вычтем $3$ из $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Этап 6

Упорядочим многочлен.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 7

Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Этап 8.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $- 1$ плюс $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Этап 8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Этап 8.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Этап 8.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Этап 8.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Этап 13

Подставим $\cos (θ)$ вместо $u$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Этап 14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Этап 15

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 15.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 15.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 15.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 15.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 15.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 16.3

$θ = 2 π - 0$

Этап 16.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 16.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 16.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 18

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$