Основы мат. анализа Примеры

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 2$ и $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Этап 4.3.3

Добавим $12$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Этап 4.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 4$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{2 π}{3}$ и $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$