Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

Этап 1

Вычтем $8 e^{- x}$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

Этап 2

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

Этап 4.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, u, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 5.2

Каждый член в $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ на $u$ .

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{u}$ в числитель.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Этап 5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Этап 5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим $u^{2} + 2 u - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 5.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Этап 5.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 5.3.4

Приравняем $u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Приравняем $u + 4$ к $0$ .

$u + 4 = 0$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u = - 4$

Этап 5.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u + 4) = 0$ верно.

$u = 2, - 4$

Этап 6

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Этап 7

Решим $2 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 8

Подставим $- 4$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- 4 = e^{x}$

Этап 9

Решим $- 4 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - 4$ .

$e^{x} = - 4$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Этап 9.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 4)$ не определено.

Неопределенные

Этап 9.4

Нет решения для $e^{x} = - 4$

Нет решения

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (2)$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (2)$

Десятичная форма:

$x = 0.69314718 \dots$