Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 10 x + 8$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} - 11 x^{2} + 10 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 11 {(- 0.5)}^{2} + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 11 {(- 0.5)}^{2} + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 0.125$ .

$- 0.25 - 11 {(- 0.5)}^{2} + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.25 - 11 \cdot 0.25 + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.5

Умножим $- 11$ на $0.25$ .

$- 0.25 - 2.75 + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.6

Вычтем $2.75$ из $- 0.25$ .

$- 3 + 10 \cdot - 0.5 + 8$

Этап 1.3.7

Умножим $10$ на $- 0.5$ .

$- 3 - 5 + 8$

Этап 1.3.8

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$- 8 + 8$

Этап 1.3.9

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 10 x + 8}{2 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{3} - 11 x^{2} + 10 x + 8$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$10 x$

$8$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$	+	$8$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$	+	$8$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$	+	$8$
							+	$16 x$	+	$8$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$	+	$8$
							-	$16 x$	-	$8$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$16 x$	+	$8$
							-	$16 x$	-	$8$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 8$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{3} - 11 x^{2} + 10 x + 8$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{2} - 6 x + 8)$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x + 1) ((x - 4) (x - 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (x - 4) (x - 2)$