Основы мат. анализа Примеры

$20 x^{4} - x^{2} - 1$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$20 {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 1$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$20 u^{2} - u - 1$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 20 \cdot - 1 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$20 u^{2} - (u) - 1$

Этап 3.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$20 u^{2} + (4 - 5) u - 1$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 u^{2} + 4 u - 5 u - 1$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(20 u^{2} + 4 u) - 5 u - 1$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 u (5 u + 1) - (5 u + 1)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u + 1$ .

$(5 u + 1) (4 u - 1)$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) (4 x^{2} - 1)$

Этап 5

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1)$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1^{2})$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$(5 x^{2} + 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(5 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)$