Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - 62 x^{2} + 60 x$

Этап 1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4} - 62 x^{2} + 60 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{4}$ .

$2 x (x^{3}) - 62 x^{2} + 60 x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 62 x^{2}$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (- 31 x) + 60 x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $60 x$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (- 31 x) + 2 x (30)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{3}) + 2 x (- 31 x)$ .

$2 x (x^{3} - 31 x) + 2 x (30)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{3} - 31 x) + 2 x (30)$ .

$2 x (x^{3} - 31 x + 30)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 31 x + 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 31 \cdot 1 + 30$

Этап 2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 31 \cdot 1 + 30$

Этап 2.3.3

Умножим $- 31$ на $1$ .

$1 - 31 + 30$

Этап 2.3.4

Вычтем $31$ из $1$ .

$- 30 + 30$

Этап 2.3.5

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 31 x + 30}{x - 1}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 31 x + 30$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$31 x$

$30$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$	+	$30$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 30 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$	+	$30$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$	+	$30$
							-	$30 x$	+	$30$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 30 x + 30$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$	+	$30$
							+	$30 x$	-	$30$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$30$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$31 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$31 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$30 x$	+	$30$
							+	$30 x$	-	$30$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x - 30$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 31 x + 30$ в виде набора множителей.

$2 x ((x - 1) (x^{2} + x - 30))$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} + x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $x^{2} + x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x ((x - 1) ((x - 5) (x + 6)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x ((x - 1) (x - 5) (x + 6))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x - 1) (x - 5) (x + 6)$