Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$

Этап 1

Разложим $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 + {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$16 - 8 - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.4

Вычтем $8$ из $16$ .

$8 - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.6

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.7

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 - 14 \cdot - 2 - 12$

Этап 1.3.8

Умножим $- 14$ на $- 2$ .

$- 16 + 28 - 12$

Этап 1.3.9

Добавим $- 16$ и $28$ .

$12 - 12$

Этап 1.3.10

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12}{x + 2}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 2 x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$12$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 12$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									+	$6 x$	+	$12$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									+	$6 x$	+	$12$
												$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{3} - x^{2} - 4 x - 6)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 2.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Этап 2.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Этап 2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$27 - 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $9$ из $27$ .

$18 - 4 \cdot 3 - 6$

Этап 2.1.3.6

Умножим $- 4$ на $3$ .

$18 - 12 - 6$

Этап 2.1.3.7

Вычтем $12$ из $18$ .

$6 - 6$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 4 x - 6}{x - 3}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	-	$6$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x + 2$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ в виде набора множителей.

$(x + 2) ((x - 3) (x^{2} + 2 x + 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 2)$