Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 10 x^{3} - 20 x^{2} - 90 x + 99$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} - 90 x + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} - 90 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 90 x + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $- 90 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 9) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (- 9)$ .

$10 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$10 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 99$

Этап 6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 20 u + 99$

Этап 7

Разложим $u^{2} - 20 u + 99$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $99$ , а сумма — $- 20$ .

$- 11, - 9$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$10 x (x + 3) (x - 3) + (u - 11) (u - 9)$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 9)$

Этап 9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 3^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $10 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 11)$

Этап 11.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 3) (x - 3) (10 x + x^{2} - 11)$

Этап 12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (10 u + u^{2} - 11)$

Этап 13

Разложим $10 u + u^{2} - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $10$ .

$- 1, 11$

Этап 13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 11))$

Этап 14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 11))$

Этап 14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 11)$