Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 26 x^{2} y^{2} + 25 y^{4}$

Этап 1

Перепишем средний член.

$x^{4} + 2 x^{2} (5 y^{2}) - 36 x^{2} y^{2} + 25 y^{4}$

Этап 2

Переставляем члены.

$x^{4} + 2 x^{2} (5 y^{2}) + 25 y^{4} - 36 x^{2} y^{2}$

Этап 3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

${(x^{2} + 5 y^{2})}^{2} - 36 x^{2} y^{2}$

Этап 4

Перепишем $36 x^{2} y^{2}$ в виде ${(6 x y)}^{2}$ .

${(x^{2} + 5 y^{2})}^{2} - {(6 x y)}^{2}$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2} + 5 y^{2}$ и $b = 6 x y$ .

$(x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Изменим порядок $5 y^{2}$ и $6 x y$ .

$(x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x y$ .

$(x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.1.3

Запишем $6$ как $1$ плюс $5$

$(x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.1.5

Умножим $x y$ на $1$ .

$(x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$((x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x (x + y) + 5 y (x + y)) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + y$ .

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} + 5 y^{2} - (6 x y))$

Этап 6.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} + 5 y^{2} - 6 (x y))$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Изменим порядок членов.

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} + 5 y^{2} - 6 x y)$

Этап 7.1.1.2

Изменим порядок $5 y^{2}$ и $- 6 x y$ .

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} - 6 x y + 5 y^{2})$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x y$ .

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} - 6 (x y) + 5 y^{2})$

Этап 7.1.1.4

Запишем $- 6$ как $- 1$ плюс $- 5$

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} + (- 1 - 5) (x y) + 5 y^{2})$

Этап 7.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} - 1 (x y) - 5 (x y) + 5 y^{2})$

Этап 7.1.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} - 1 x y - 5 (x y) + 5 y^{2})$

Этап 7.1.1.7

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + y) (x + 5 y) (x^{2} - 1 x y - 5 x y + 5 y^{2})$

Этап 7.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + y) (x + 5 y) ((x^{2} - 1 x y) - 5 x y + 5 y^{2})$

Этап 7.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + y) (x + 5 y) (x (x - y) - 5 y (x - y))$

Этап 7.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - y$ .

$(x + y) (x + 5 y) ((x - y) (x - 5 y))$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + y) (x + 5 y) (x - y) (x - 5 y)$