Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 5 x^{3} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Этап 2

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x^{3} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x (x^{2}) - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 20 x$ .

$- 5 x (x^{2}) - 5 x (4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 5 x$ из $- 5 x (x^{2}) - 5 x (4)$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 16$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 4^{2}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(u + 4)}^{2}$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 7

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $- 5 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + {(x^{2} + 4)}^{2}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x + x^{2} + 4)$

Этап 8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 4) (- 5 u + u^{2} + 4)$

Этап 9

Разложим $- 5 u + u^{2} + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 4) ((u - 4) (u - 1))$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 4) (x - 1))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1)$