Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 6 x^{3} + 54 x - 81$

Этап 1

Разложим $x^{4} - 6 x^{3} + 54 x - 81$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

Этап 1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{4} - 6 {(- 3)}^{3} + 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$81 - 6 {(- 3)}^{3} + 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 1.3.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$81 - 6 \cdot - 27 + 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 1.3.4

Умножим $- 6$ на $- 27$ .

$81 + 162 + 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 1.3.5

Добавим $81$ и $162$ .

$243 + 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 1.3.6

Умножим $54$ на $- 3$ .

$243 - 162 - 81$

Этап 1.3.7

Вычтем $162$ из $243$ .

$81 - 81$

Этап 1.3.8

Вычтем $81$ из $81$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 54 x - 81}{x + 3}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} - 6 x^{3} + 54 x - 81$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{3} - 27 x^{2}$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $27 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $27 x^{2} + 81 x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

$81$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 27 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

$81$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

$81$

$27 x$

$81$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 27 x - 81$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

$81$

$27 x$

$81$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

$x$

$3$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$54 x$

$81$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x^{3}$

$27 x^{2}$

$54 x$

$27 x^{2}$

$81 x$

$27 x$

$81$

$27 x$

$81$

$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} - 6 x^{3} + 54 x - 81$ в виде набора множителей.

$(x + 3) (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Этап 2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Этап 2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Этап 2.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 27$

Этап 2.3.4

Умножим $- 9$ на $9$ .

$27 - 81 + 27 \cdot 3 - 27$

Этап 2.3.5

Вычтем $81$ из $27$ .

$- 54 + 27 \cdot 3 - 27$

Этап 2.3.6

Умножим $27$ на $3$ .

$- 54 + 81 - 27$

Этап 2.3.7

Добавим $- 54$ и $81$ .

$27 - 27$

Этап 2.3.8

Вычтем $27$ из $27$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}{x - 3}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							+	$9 x$	-	$27$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x - 27$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 9$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ в виде набора множителей.

$(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 6 x + 9))$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 6 x + 3^{2}))$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) ((x - 3) {(x - 3)}^{2})$

Этап 4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x + 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2})$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 2}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{3}$