Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x^{2} - 6 x}$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x \cdot x - 6 x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x (x - 6)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{x^{2} - 36}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x - 6)}{x (x - 6)}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x (x - 6)}{x (x - 6)} - \frac{1}{x (x - 6)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{x (x - 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x (x - 6)}{x (x - 6)} - \frac{1}{x (x - 6)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} - 36) x (x - 6)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{x^{2} - 36}$ на $\frac{x (x - 6)}{x (x - 6)}$ .

$\frac{2 (x (x - 6))}{(x^{2} - 36) (x (x - 6))} - \frac{1}{x (x - 6)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{x (x - 6)}$ на $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{2 (x (x - 6))}{(x^{2} - 36) (x (x - 6))} - \frac{x^{2} - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 36) (x (x - 6))$ .

$\frac{2 (x (x - 6))}{x (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{x^{2} - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x (x - 6)) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2 (x (x - 6)) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 6) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 6) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.3

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} - - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.7

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} + 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.8

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 6^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Этап 6.9.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Этап 6.10

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 6^{2})}$

Этап 6.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Этап 6.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x + 6) (x - 6)}$

Этап 6.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x ({(x - 6)}^{1} (x - 6)) (x + 6)}$

Этап 6.12.2

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1}) (x + 6)}$

Этап 6.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{1 + 1} (x + 6)}$

Этап 6.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Этап 6.13

Сократим выражение $\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Этап 6.13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (x + 6)}$