Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (\frac{π}{8}) - \sin^{2} (\frac{π}{8})$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (\frac{π}{8})$ и $b = \sin (\frac{π}{8})$ .

$(\cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$(\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$(\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.5

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.5.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.4.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Этап 2.5.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 2.5.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 2.5.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 2.5.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 2.5.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 2.5.4.5

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 2.5.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Этап 2.5.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Этап 2.5.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 2.5.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$