Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$

Этап 1

Разложим $x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 14$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 10 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 14$

Этап 1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 10 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 14$

Этап 1.3.4

Умножим $10$ на $1$ .

$- 1 + 10 + 23 \cdot - 1 + 14$

Этап 1.3.5

Добавим $- 1$ и $10$ .

$9 + 23 \cdot - 1 + 14$

Этап 1.3.6

Умножим $23$ на $- 1$ .

$9 - 23 + 14$

Этап 1.3.7

Вычтем $23$ из $9$ .

$- 14 + 14$

Этап 1.3.8

Добавим $- 14$ и $14$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14}{x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$23 x$

$14$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$	+	$14$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $14 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$	+	$14$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$	+	$14$
							+	$14 x$	+	$14$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $14 x + 14$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$	+	$14$
							-	$14 x$	-	$14$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$23 x$	+	$14$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$14 x$	+	$14$
							-	$14 x$	-	$14$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 9 x + 14$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} + 9 x + 14)$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 9 x + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} + 9 x + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) ((x + 2) (x + 7))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x + 2) (x + 7)$