Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + x^{2} - 12$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 2^{2} - 12$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 2^{2} - 12$

Этап 3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 4 - 12$

Этап 3.4

Добавим $8$ и $4$ .

$12 - 12$

Этап 3.5

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12}{x - 2}$

Этап 5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 12$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x + 6$

Этап 6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 12$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{2} + 3 x + 6)$