Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 3

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 4

Развернем $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Этап 5.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Этап 5.3

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Этап 6

Перепишем $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

Этап 6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

Этап 6.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

Этап 6.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

Этап 6.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

Этап 6.5

Вынесем множитель $x + 2$ из $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $3 (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Этап 6.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Этап 6.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Этап 6.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Этап 6.8

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

Этап 6.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 6.9.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 6.9.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Этап 6.9.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Этап 6.9.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Этап 6.9.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 1 - 2 + 3$

Этап 6.9.1.3.5

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- 3 + 3$

Этап 6.9.1.3.6

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 6.9.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

Этап 6.9.1.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 6.9.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

Этап 6.9.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 6.9.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 6.9.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 6.9.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.9.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.9.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 6.9.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 6.9.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

Этап 6.9.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Этап 6.9.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Этап 6.9.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Этап 6.9.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x + 3$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Этап 6.9.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

Этап 6.9.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x + 3$

Этап 6.9.1.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ в виде набора множителей.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

Этап 6.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$