Основы мат. анализа Примеры

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\csc^{2} (x) = 1$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (x) = 1$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (x) = - 1$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (x) = 1, - 1$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (1)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $arccsc (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 7.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 7.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 7.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 7.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Этап 10.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 10.1.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 10.1.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Этап 10.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Этап 10.2.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Этап 10.2.2.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$