Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 5

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 9

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 10

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$π + 2 π (0)$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$π + 0 π$

Этап 12.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$π + 0$

Этап 12.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$π$

Этап 12.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $π$ .

$x = π$