Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + 3 y^{2} = 1$

Этап 1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$ на $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 - 2 x^{2}}{3}}$

Этап 4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - 2 x^{2}}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 - 2 x^{2}) \cdot 3}}{3}$

Этап 4.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(1 - 2 x^{2}) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Этап 6

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $x$ , перепишем уравнение, поместив $y$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $x$ , с другой стороны.

$f (x) = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$