Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25} - \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2

Упростим $- \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на $1$ .

$- \frac{1 {(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2.25$ из $2.25$ .

$- \frac{1 {(y - 25)}^{2}}{2.25 (1)} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2.3

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{2.25} \cdot \frac{{(y - 25)}^{2}}{1}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2.4

Разделим $1$ на $2.25$ .

$- (0.\overline{4} \frac{{(y - 25)}^{2}}{1}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2.5

Разделим ${(y - 25)}^{2}$ на $1$ .

$- (0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 2.6

Умножим $0.\overline{4}$ на $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 3

Упростим $1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим на $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{1 {(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2.25$ из $2.25$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{1 {(x - 17.5)}^{2}}{2.25 (1)}$

Этап 3.1.3

Разделим дроби.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (\frac{1}{2.25} \cdot \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{1})$

Этап 3.1.4

Разделим $1$ на $2.25$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{1})$

Этап 3.1.5

Разделим ${(x - 17.5)}^{2}$ на $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} {(x - 17.5)}^{2})$

Этап 3.1.6

Перепишем ${(x - 17.5)}^{2}$ в виде $(x - 17.5) (x - 17.5)$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} ((x - 17.5) (x - 17.5)))$

Этап 3.1.7

Развернем $(x - 17.5) (x - 17.5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x (x - 17.5) - 17.5 (x - 17.5)))$

Этап 3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x \cdot x + x \cdot - 17.5 - 17.5 (x - 17.5)))$

Этап 3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x \cdot x + x \cdot - 17.5 - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Этап 3.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} + x \cdot - 17.5 - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Этап 3.1.8.1.2

Перенесем $- 17.5$ влево от $x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 17.5 \cdot x - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Этап 3.1.8.1.3

Умножим $- 17.5$ на $- 17.5$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 17.5 x - 17.5 x + 306.25))$

Этап 3.1.8.2

Вычтем $17.5 x$ из $- 17.5 x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 35 x + 306.25))$

Этап 3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} + 0.\overline{4} (- 35 x) + 0.\overline{4} \cdot 306.25)$

Этап 3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Умножим $- 35$ на $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} - 15.\overline{5} x + 0.\overline{4} \cdot 306.25)$

Этап 3.1.10.2

Умножим $0.\overline{4}$ на $306.25$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} - 15.\overline{5} x + 136.\overline{1})$

Этап 3.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2}) - (- 15.\overline{5} x) - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Этап 3.1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Умножим $0.\overline{4}$ на $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} - (- 15.\overline{5} x) - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Этап 3.1.12.2

Умножим $- 15.\overline{5}$ на $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Этап 3.1.12.3

Умножим $- 1$ на $136.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 136.\overline{1}$

Этап 3.2

Вычтем $136.\overline{1}$ из $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$

Этап 4

Разделим каждый член $- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$ на $- 0.\overline{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$ на $- 0.\overline{4}$ .

$\frac{- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}}{- 0.\overline{4}} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.\overline{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}}{- 0.\overline{4}} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.2.1.2

Разделим ${(y - 25)}^{2}$ на $1$ .

${(y - 25)}^{2} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 0.\overline{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

${(y - 25)}^{2} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} x}{0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $15.\overline{5}$ из $15.\overline{5} x$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} (x)}{0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $0.\overline{4}$ из $0.\overline{4}$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} (x)}{0.\overline{4} (1)} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.5

Разделим дроби.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (\frac{15.\overline{5}}{0.\overline{4}} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.6

Разделим $15.\overline{5}$ на $0.\overline{4}$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (35 \frac{x}{1}) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.7

Разделим $x$ на $1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (35 x) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.8

Умножим $35$ на $- 1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - 35 x + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Этап 4.3.1.9

Разделим $- 135.\overline{1}$ на $- 0.\overline{4}$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - 35 x + 304$

Этап 5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 25 = \pm \sqrt{x^{2} - 35 x + 304}$

Этап 6

Разложим $x^{2} - 35 x + 304$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $304$ , а сумма — $- 35$ .

$- 19, - 16$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y - 25 = \pm \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 25 = \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Этап 7.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Этап 7.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 25 = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Этап 7.4

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Этап 8

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $x$ , перепишем уравнение, поместив $y$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $x$ , с другой стороны.

$f (x) = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25, - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$