Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$ не определено.

$x = - 2, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 8.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Этап 8.2.10

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} + 0 - 4}$

Этап 8.2.11

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3}{x^{2} - 4}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$3$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$4 x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$3$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$4 x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0$

$16 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 0 - 16 x$ .

						$4 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0$

$16 x$

$x^{2}$

$22 x$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$4 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$x^{2}$	+	$22 x$	-	$3$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$4 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$x^{2}$	+	$22 x$	-	$3$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

						$4 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$x^{2}$	+	$22 x$	-	$3$
							-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 0 + 4$ .

						$4 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$x^{2}$	+	$22 x$	-	$3$
							+	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$4 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$4 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$3$
					-	$4 x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$x^{2}$	+	$22 x$	-	$3$
							+	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									+	$22 x$	-	$7$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4 x - 1 + \frac{22 x - 7}{x^{2} - 4}$

Этап 8.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 4 x - 1$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 4 x - 1$

Этап 10