Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 \csc (2 π x - π)$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 4 \csc (2 π x - π)$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 4 \csc (2 π x - π)$ .

$2 π x - π = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$2 π x = π$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 π x = π$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 π x = π$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{2 π}$

Этап 2.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3

Выражение внутри косеканса $2 π x - π$ приравняем $2 π$ .

$2 π x - π = 2 π$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$2 π x = 2 π + π$

Этап 4.1.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$2 π x = 3 π$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 π x = 3 π$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 π x = 3 π$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2 π}$

Этап 4.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 5

Основной период $y = 4 \csc (2 π x - π)$ находится на промежутке $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ , где $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Этап 6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$2 π$ приблизительно равно $6.2831853$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{π}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{π}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = 4 \csc (2 π x - π)$ находятся в $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ и в каждой точке $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$

Этап 8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 9