Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$ не определено.

$x = - 1, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 1, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{3}}{(x - 2) (x + 1)}$

Этап 8.2

Развернем $(x - 2) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.9

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2 x - 2}$

Этап 8.2.11

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$2$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x - 2$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$2$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$2$

$3 x$

$2$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 1 + \frac{3 x + 2}{x^{2} - x - 2}$

Этап 8.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x + 1$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x + 1$

Этап 10