Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$

Этап 1

Упростим $\tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \tan (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{2 \cdot 6})$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\frac{π}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Этап 3.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 6 - π}{12}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 6 π - π}{12}$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $π$ из $- 6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 7 π}{12}$

Этап 3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{2} = - \frac{7 π}{12}$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $2 (- \frac{7 π}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 π}{12}$ в числитель.

$x = 2 \frac{- 7 π}{12}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 (6)}$

Этап 3.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 \cdot 6}$

Этап 3.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 7 π}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 π}{6}$

Этап 4

Приравняем аргумент $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $\frac{π}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Этап 5.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Этап 5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 \cdot π - π}{12}$

Этап 5.1.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 6

Основной период $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ находится на промежутке $(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$ , где $- \frac{7 π}{6}$ и $\frac{5 π}{6}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$

Этап 7

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ находятся в точках $- \frac{7 π}{6}$ , $\frac{5 π}{6}$ и в каждой точке $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$

Этап 9

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 10