Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

Этап 3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Этап 3.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

Этап 3.1.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $- 2 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- 2 x}$ стремится к $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 4 \cdot 0}$

Этап 3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$5 \frac{1}{1 + 0}$

Этап 3.3.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$5 (\frac{1}{1})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{1}{1})$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

Этап 4.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ стремится к $0$ .

$5 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $0$ .

$0$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 5, 0$

Этап 6

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 5, 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 8