Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ не определено.

$x = - 5, x = 1$

Этап 2

Поскольку $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ слева, а $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ справа, то $x = - 5$ — вертикальная асимптота.

$x = - 5$

Этап 3

Поскольку $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 5, 1$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Этап 8.2

Развернем $(x - 1) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.4

Изменим порядок $x$ и $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Этап 8.2.9

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Этап 8.2.10

Вычтем $1 x$ из $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Этап 8.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Этап 8.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Этап 8.10

Умножим новое частное на делитель.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Этап 8.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x^{2} - 80 x + 100$ .

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Этап 8.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Этап 8.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 8.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 5 x - 20$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 5, 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 5 x - 20$

Этап 10