Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$ не определено.

$x = 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - x^{2}}{5 x - 5}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 x - 5}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 x - 5}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) - 5}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) + 5 (- 1)}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2

Развернем $x (6 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $x$ и $6$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{6 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\frac{6 x - 1 x \cdot x}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.6

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x - x^{1 + 1}}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 x - x^{2}}{5 (x - 1)}$

Этап 5.2.11

Изменим порядок $6 x$ и $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 (x - 1)}$

Этап 5.3

Развернем $5 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x + 5 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x - 5}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$0$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				-	$\frac{x}{5}$
	$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	-	$5$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 5$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$
							+	$5$

Этап 5.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{x}{5} + 1 + \frac{5}{5 x - 5}$

Этап 5.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{x}{5} + 1$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{x}{5} + 1$

Этап 7