Основы мат. анализа Примеры

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ .

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

Этап 2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

Этап 3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 4

Перепишем ${(x - h)}^{2}$ в виде $(x - h) (x - h)$ .

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 5

Развернем $(x - h) (x - h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.4

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перенесем $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.4.2

Умножим $h$ на $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.1.6

Умножим $h^{2}$ на $1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.2

Вычтем $h x$ из $- x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x$ .

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 6.2.2

Вычтем $h x$ из $- h x$ .

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Этап 9

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

Этап 10

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11

Подставим значения $a = a + 4 k$ , $b = - 2 a h + 8$ и $c = a h^{2} - y - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.4

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5

Пусть $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ . Подставим $u$ вместо $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ в виде $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.2

Развернем $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1.1.1

Перенесем $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1.2.1

Перенесем $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.2.2

Умножим $h$ на $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.4

Умножим $8$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.1.6

Умножим $8$ на $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.5.3.2

Вычтем $16 a h$ из $- 16 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 32 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.3

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.7

Заменим все вхождения $u$ на $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1.1

Развернем $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1.2.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1.2.1.1

Перенесем $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.3

Перенесем $- 4$ влево от $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.2.6

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1.4.1

Умножим $- (- a y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4.1.2

Умножим $a$ на $1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.4.5

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.1.5

Избавимся от скобок.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.2

Объединим противоположные члены в $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.2.1

Вычтем $a^{2} h^{2}$ из $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.8.2.2

Добавим $- 8 a h + 16$ и $0$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.9

Перепишем $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ в виде $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.9.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 12.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Этап 13

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$