Основы мат. анализа Примеры

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{25 - x^{2}} = y$ .

$\sqrt{25 - x^{2}} = y$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = y^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 - x^{2}}$ в виде ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 - x^{2})}^{1} = y^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$25 - x^{2} = y^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = y^{2} - 25$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x^{2} = y^{2} - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = y^{2} - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 25$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 25}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{- y^{2} + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 5^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Изменим порядок $- y^{2}$ и $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$