Основы мат. анализа Примеры

${(y - 3)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 36$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 1$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Этап 5.2

Упростим $2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = 2 \cdot (x - 1) + 3$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1 + 3$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 x - 2 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$y = 2 x + 1$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Этап 6.2

Упростим $- 2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1) + 3$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1 + 3$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = - 2 x + 2 + 3$

Этап 6.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$y = - 2 x + 5$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Этап 8

Асимптоты: $y = 2 x + 1$ и $y = - 2 x + 5$ .

Асимптоты: $y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Этап 9