Основы мат. анализа Примеры

${(x - 7)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{49}{4}$

Этап 1

Вычтем ${(y + 3)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x - 7)}^{2} = \frac{49}{4} - {(y + 3)}^{2}$

Этап 2

Чтобы записать $- {(y + 3)}^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{49}{4} - {(y + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3

Объединим $- {(y + 3)}^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{49}{4} + \frac{- {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - 7)}^{2} = \frac{49 - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4}$

Этап 5

Умножим $4$ на $- 1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{49 - 4 {(y + 3)}^{2}}{4}$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{49 - 4 {(y + 3)}^{2}}{4}}$

Этап 7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{49 - 4 {(y + 3)}^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{7^{2} - 4 {(y + 3)}^{2}}{4}}$

Этап 7.1.2

Перепишем $4 {(y + 3)}^{2}$ в виде ${(2 (y + 3))}^{2}$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{7^{2} - {(2 (y + 3))}^{2}}{4}}$

Этап 7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7$ и $b = 2 (y + 3)$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(7 + 2 (y + 3)) (7 - (2 (y + 3)))}{4}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(7 + 2 y + 2 \cdot 3) (7 - (2 (y + 3)))}{4}}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(7 + 2 y + 6) (7 - (2 (y + 3)))}{4}}$

Этап 7.3.3

Добавим $7$ и $6$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - (2 (y + 3)))}{4}}$

Этап 7.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - (2 y + 2 \cdot 3))}{4}}$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - (2 y + 6))}{4}}$

Этап 7.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{4}}$

Этап 7.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - 2 y - 1 \cdot 6)}{4}}$

Этап 7.3.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (7 - 2 y - 6)}{4}}$

Этап 7.3.9

Вычтем $6$ из $7$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}{4}}$

Этап 7.4

Перепишем $\frac{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 y + 13) (- 2 y + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(2 y + 13) (- 2 y + 1)$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((2 y + 13) (- 2 y + 1))}{4}}$

Этап 7.4.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((2 y + 13) (- 2 y + 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 7.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((2 y + 13) (- 2 y + 1))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x - 7 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 y + 13) (- 2 y + 1))}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x - 7 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}$

Этап 7.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}$ .

$x - 7 = \pm \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2}$

Этап 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 7 = \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2}$

Этап 8.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$

Этап 8.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 7 = - \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2}$

Этап 8.4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = - \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$

Этап 8.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$

$x = - \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$

$x = \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$

$x = - \frac{\sqrt{(2 y + 13) (- 2 y + 1)}}{2} + 7$