Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 + 6 i}{5 - 6 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{5 + 6 i}{5 - 6 i}$ на комплексно сопряженное $5 - 6 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{5 + 6 i}{5 - 6 i} \cdot \frac{5 + 6 i}{5 + 6 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(5 + 6 i) (5 + 6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(5 + 6 i) (5 + 6 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 + 6 i) + 6 i (5 + 6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (6 i) + 6 i (5 + 6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (6 i) + 6 i \cdot 5 + 6 i (6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 + 5 (6 i) + 6 i \cdot 5 + 6 i (6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{25 + 30 i + 6 i \cdot 5 + 6 i (6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 6 i (6 i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $6 i (6 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 i i}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 (i^{1} i)}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 (i^{1} i^{1})}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 i^{1 + 1}}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 i^{2}}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i + 36 \cdot - 1}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $36$ на $- 1$ .

$\frac{25 + 30 i + 30 i - 36}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $36$ из $25$ .

$\frac{- 11 + 30 i + 30 i}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $30 i$ и $30 i$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{(5 - 6 i) (5 + 6 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(5 - 6 i) (5 + 6 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 11 + 60 i}{5 (5 + 6 i) - 6 i (5 + 6 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 11 + 60 i}{5 \cdot 5 + 5 (6 i) - 6 i (5 + 6 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 11 + 60 i}{5 \cdot 5 + 5 (6 i) - 6 i \cdot 5 - 6 i (6 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 5 (6 i) - 6 i \cdot 5 - 6 i (6 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 6 i \cdot 5 - 6 i (6 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 6 i (6 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $6$ на $- 6$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 36 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 36 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 36 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 36 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 30 i - 30 i - 36 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем $30 i$ из $30 i$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 0 - 36 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $25$ и $0$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 - 36 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 - 36 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 36$ на $- 1$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{25 + 36}$

Этап 2.3.4

Добавим $25$ и $36$ .

$\frac{- 11 + 60 i}{61}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{- 11 + 60 i}{61}$ на две дроби.

$\frac{- 11}{61} + \frac{60 i}{61}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{61} + \frac{60 i}{61}$