Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 - 2 i}{1 + 4 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{3 - 2 i}{1 + 4 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 4 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{3 - 2 i}{1 + 4 i} \cdot \frac{1 - 4 i}{1 - 4 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(3 - 2 i) (1 - 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(3 - 2 i) (1 - 4 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 - 4 i) - 2 i (1 - 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 4 i) - 2 i (1 - 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 4 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 + 3 (- 4 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i - 2 i (- 4 i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 2 i (- 4 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 i i}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 (i^{1} i)}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 (i^{1} i^{1})}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 i^{1 + 1}}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 i^{2}}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i + 8 \cdot - 1}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{3 - 12 i - 2 i - 8}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{- 5 - 12 i - 2 i}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $2 i$ из $- 12 i$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{(1 + 4 i) (1 - 4 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(1 + 4 i) (1 - 4 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 - 14 i}{1 (1 - 4 i) + 4 i (1 - 4 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 - 14 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 4 i) + 4 i (1 - 4 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 5 - 14 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 4 i) + 4 i \cdot 1 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 + 1 (- 4 i) + 4 i \cdot 1 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i \cdot 1 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i - 16 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i - 16 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i - 16 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 4 i + 4 i - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим $- 4 i$ и $4 i$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 + 0 - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 - 16 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{1 + 16}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $16$ .

$\frac{- 5 - 14 i}{17}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{- 5 - 14 i}{17}$ на две дроби.

$\frac{- 5}{17} + \frac{- 14 i}{17}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{17} + \frac{- 14 i}{17}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{17} - \frac{14 i}{17}$