Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 i}{{(4 - 5 i)}^{2}}$

Этап 1

Перепишем ${(4 - 5 i)}^{2}$ в виде $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ .

$\frac{3 i}{(4 - 5 i) (4 - 5 i)}$

Этап 2

Развернем $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 i}{4 (4 - 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{3 i}{16 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Этап 3.1.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 5 i (- 5 i)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 5 i (- 5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i i}$

Этап 3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i)}$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i^{1})}$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{1 + 1}}$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{2}}$

Этап 3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 \cdot - 1}$

Этап 3.1.6

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 25}$

Этап 3.2

Вычтем $25$ из $16$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 20 i - 20 i}$

Этап 3.3

Вычтем $20 i$ из $- 20 i$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$

Этап 4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$ на комплексно сопряженное $- 9 - 40 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i} \cdot \frac{- 9 + 40 i}{- 9 + 40 i}$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{3 i (- 9 + 40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 i \cdot - 9 + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 9$ на $3$ .

$\frac{- 27 i + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.3

Умножим $3 i (40 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $40$ на $3$ .

$\frac{- 27 i + 120 i i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i^{1})}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 27 i + 120 i^{1 + 1}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 i^{2}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 27 i + 120 \cdot - 1}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $120$ на $- 1$ .

$\frac{- 27 i - 120}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $- 27 i$ и $- 120$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 (- 9 + 40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Этап 5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $40$ на $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 9$ на $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 40 i (40 i)}$

Этап 5.3.2.4

Умножим $40$ на $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i i}$

Этап 5.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i)}$

Этап 5.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i^{1})}$

Этап 5.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{1 + 1}}$

Этап 5.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{2}}$

Этап 5.3.2.9

Добавим $- 360 i$ и $360 i$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 0 - 1600 i^{2}}$

Этап 5.3.2.10

Добавим $81$ и $0$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 i^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 \cdot - 1}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1600$ на $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 1600}$

Этап 5.3.4

Добавим $81$ и $1600$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{1681}$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{- 120 - 27 i}{1681}$ на две дроби.

$\frac{- 120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{120}{1681} - \frac{27 i}{1681}$