Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{5} - 3 x^{2} + 2 x - 2}{x + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} + x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{4} - x^{3}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 4 x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

Этап 21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

$2$

Этап 22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

$2$

Этап 23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

$2$

$6 x$

$6$

Этап 24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 6$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

$2$

$6 x$

$6$

Этап 25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$6 x$

$2$

$6 x$

$6$

$8$

Этап 26

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{4} - x^{3} + x^{2} - 4 x + 6 - \frac{8}{x + 1}$