Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} (7 + x) (x - 9)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1

Развернем $x^{2} (7 + x) (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} \cdot 7 + x^{2} x) (x - 9)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot (7 (x - 9)) + x^{2} x (x - 9)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot (7 x) + x^{2} \cdot 7 \cdot - 9 + x^{2} x (x - 9)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot (7 x) + x^{2} \cdot 7 \cdot - 9 + x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 9}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.5

Изменим порядок $x^{2}$ и $7$ .

$\frac{7 \cdot (x^{2} x) + x^{2} \cdot 7 \cdot - 9 + x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 9}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.6

Изменим порядок $x^{2}$ и $7$ .

$\frac{7 \cdot (x^{2} x) + 7 \cdot x^{2} \cdot - 9 + x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 9}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.7

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{7 \cdot (x^{2} x) + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x + x^{2} x \cdot - 9}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.8

Перенесем $x$ .

$\frac{7 \cdot (x^{2} x) + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x + x^{2} \cdot (- 9 x)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.9

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 9$ .

$\frac{7 x^{2} x + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (x^{2} x) + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{2 + 1} + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.12

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{7 x^{3} + 7 \cdot (- 9 x^{2}) + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.13

Умножим $7$ на $- 9$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{2} x \cdot x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{2 + 1} x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.16

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{3} x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{3} x - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{3 + 1} - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.19

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{4} - 9 x^{2} x}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{4} - 9 (x^{2} x)}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{4} - 9 x^{2 + 1}}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.22

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{7 x^{3} - 63 x^{2} + x^{4} - 9 x^{3}}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.23

Перенесем $- 63 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{3} + x^{4} - 9 x^{3} - 63 x^{2}}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.24

Изменим порядок $7 x^{3}$ и $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{3} - 63 x^{2}}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 1.25

Вычтем $9 x^{3}$ из $7 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{(x + 3) (x - 2)}$

Этап 2

Развернем $(x + 3) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x (x - 2) + 3 (x - 2)}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 (x - 2)}$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.4

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 2.9

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 3 x - 6}$

Этап 2.10

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 63 x^{2}}{x^{2} + x - 6}$

Этап 3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

Этап 6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

Этап 7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

Этап 8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

Этап 9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

Этап 10

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Этап 11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$ .

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Этап 12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

Этап 13

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

$0$

Этап 14

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 54 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$3 x$

$54$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

$0$

Этап 15

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$3 x$

$54$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

$0$

$54 x^{2}$

$54 x$

$324$

Этап 16

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 54 x^{2} - 54 x + 324$ .

$x^{2}$

$3 x$

$54$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

$0$

$54 x^{2}$

$54 x$

$324$

Этап 17

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$3 x$

$54$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$63 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x^{3}$

$57 x^{2}$

$0 x$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$54 x^{2}$

$18 x$

$0$

$54 x^{2}$

$54 x$

$324$

$36 x$

$324$

Этап 18

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} - 3 x - 54 + \frac{36 x - 324}{x^{2} + x - 6}$