Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - x^{2} - 2 x + 4}{x - 5}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 20 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$	+	$4$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$18$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$	+	$4$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$18$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$	+	$4$
							+	$18 x$	-	$90$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x - 90$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$18$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$	+	$4$
							-	$18 x$	+	$90$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$18$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$18 x$	+	$4$
							-	$18 x$	+	$90$
									+	$94$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + 4 x + 18 + \frac{94}{x - 5}$