Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8}{x^{2} - 2}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{4} + 0 - 10 x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 0 - 6 x$ .

$5 x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

$8$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$3 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

$8$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$3 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

$8$

$8 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} + 0 - 16$ .

$5 x^{2}$

$3 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

$8$

$8 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$3 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$5 x^{4}$

$0$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$3 x^{3}$

$0$

$6 x$

$8 x^{2}$

$10 x$

$8$

$8 x^{2}$

$0$

$16$

$10 x$

$24$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x^{2} + 3 x + 8 + \frac{10 x + 24}{x^{2} - 2}$