Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{6} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 2^{3}}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x^{2}$ и $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Этап 1.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$

Этап 2

Умножим $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ на $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}} \cdot \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ на $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} + x \sqrt{2} - \sqrt{2} x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{1}}$

Этап 3.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 1 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Этап 3.4.2

Разделим $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ на $1$ .

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$

Этап 4

Развернем $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{4} x + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4 + 1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Этап 5.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$