Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{8} \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24 \sqrt{8}}}$

Этап 1

Объединим $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{24 \sqrt{8}}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{8} \sqrt[3]{\frac{3}{24 \sqrt{8}}}$

Этап 2

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)} \sqrt[3]{\frac{3}{24 \sqrt{8}}}$

Этап 2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} \sqrt[3]{\frac{3}{24 \sqrt{8}}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{3}{24 \sqrt{8}}}$

Этап 3.2

Сократим выражение $\frac{3}{24 \sqrt{8}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{3 (1)}{24 \sqrt{8}}}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $24 \sqrt{8}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{3 (1)}{3 (8 \sqrt{8})}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 1}{3 (8 \sqrt{8})}}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{8 \sqrt{8}}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{8 \sqrt{4 (2)}}}$

Этап 4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{8 \cdot 2 \sqrt{2}}}$

Этап 4.3

Умножим $8$ на $2$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{16 \sqrt{2}}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{16 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{1}{16 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Этап 6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{16 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Этап 6.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Этап 6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Этап 6.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Этап 6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Этап 6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 6.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \cdot 2^{1}}}$

Этап 6.7.5

Найдем экспоненту.

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16 \cdot 2}}$

Этап 7

Умножим $16$ на $2$ .

$2 \sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{32}}$

Этап 8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{32}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{32}}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{32}}$

Этап 9

Перепишем $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$ в виде $\sqrt[6]{2}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{32}}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $32$ в виде $2^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{8 (4)}}$

Этап 10.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4}}$

Этап 10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{2 \sqrt[3]{4}}$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt[6]{2}}{2 \sqrt[3]{4}}$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{4}$ .

$2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt[6]{2}}{2 (\sqrt[3]{4})}$

Этап 11.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{2 \sqrt[3]{4}}$

Этап 11.1.4

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 11.2

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 12

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} \sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 12.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{6}} \sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 12.3

Перепишем $2^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[6]{2^{3} \cdot 2}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 14

Умножим $2^{3}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2^{3}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{1}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[6]{2^{3 + 1}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 14.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{\sqrt[6]{2^{4}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt[6]{16}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 15.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt[6]{4^{2}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 15.3

Перепишем $\sqrt[6]{4^{2}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt{4^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{\sqrt{4^{2}}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 15.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 16

Сократим общий множитель $\sqrt[3]{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 16.2

Перепишем это выражение.

$1$