Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2} {(7 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2} \frac{1}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.3

Чтобы записать ${(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем $\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим ${(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + {(7 - x^{2})}^{1}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим ${(7 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 7 - x^{2}}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 1.6.4

Добавим $0$ и $7$ .

$\frac{\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - x^{2}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - x^{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{7 - x^{2}}$ .

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} (7 - x^{2})}$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 7)}$

Этап 3.3

Умножим ${(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 7$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим ${(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $- x^{2} + 7$ в степень $1$ .

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 7)}^{1}}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7}{{(- x^{2} + 7)}^{\frac{3}{2}}}$