Основы мат. анализа Примеры

$\frac{9}{x^{3} - 8}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{9}{x^{3} - 2^{3}}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})}$

Этап 1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$\frac{9 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.6.2

Разделим $9$ на $1$ .

$9 = \frac{(A) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$9 = \frac{A (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 2 x + 4)$ на $1$ .

$9 = (A) (x^{2} + 2 x + 4) + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.3.2

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + \frac{(B x + C) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B x + C) (x - 2)$ на $1$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + (B x + C) (x - 2)$

Этап 1.7.5

Развернем $(B x + C) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x (x - 2) + C (x - 2)$

Этап 1.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + C (x - 2)$

Этап 1.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 1.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1.1

Перенесем $x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 1.7.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} + B x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 1.7.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $B x$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} - 2 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 2$

Этап 1.7.6.3

Перенесем $- 2$ влево от $C$ .

$9 = A x^{2} + 2 A x + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $A$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Этап 1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x - 2 C$

Этап 1.8.3

Перенесем $B$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x - 2 C$

Этап 1.8.4

Перенесем $4 A$ .

$9 = A x^{2} + 2 x A + B x^{2} - 2 x B + C x + 4 A - 2 C$

Этап 1.8.5

Перенесем $2 x A$ .

$9 = A x^{2} + B x^{2} + 2 x A - 2 x B + C x + 4 A - 2 C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A - 2 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

$A = - B$

$0 = 2 A - 2 B + C$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A - 2 B + C$ на $- B$ .

$0 = 2 (- B) - 2 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- B) - 2 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - 2 B - 2 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- 2 B$ .

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = 4 A - 2 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $9 = 4 A - 2 C$ на $- B$ .

$9 = 4 (- B) - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$0 = - 4 B + C$

$A = - B$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $0 = - 4 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 B + C = 0$ .

$- 4 B + C = 0$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

Этап 3.3.2

Добавим $4 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 4 B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

$C = 4 B$

$9 = - 4 B - 2 C$

$A = - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $4 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $9 = - 4 B - 2 C$ на $4 B$ .

$9 = - 4 B - 2 (4 B)$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 4 B - 2 (4 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$9 = - 4 B - 8 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $8 B$ из $- 4 B$ .

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

$9 = - 12 B$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $9 = - 12 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 12 B = 9$ .

$- 12 B = 9$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 12 B = 9$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 12 B = 9$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 B}{- 12} = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 B}{- 12} = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{9}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $9$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$B = \frac{3 (3)}{- 12}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot - 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = \frac{3}{- 4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

$B = - \frac{3}{4}$

$C = 4 B$

$A = - B$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{3}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 4 B$ на $- \frac{3}{4}$ .

$C = 4 (- \frac{3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$C = 4 (\frac{- 3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$C = 4 (\frac{- 3}{4})$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = - B$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- \frac{3}{4}$ .

$A = - (- \frac{3}{4})$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Умножим $- (- \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 (\frac{3}{4})$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Этап 3.6.4.1.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$C = - 3$

$B = - \frac{3}{4}$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = \frac{3}{4}, C = - 3, B = - \frac{3}{4}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{3}{4 x} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{x \cdot 3}{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{- \frac{3 x}{4} - 3}{x^{2} + 2 x + 4}$