Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{5}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Этап 1.1.3

Применим правило умножения к $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{5}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5}$

Этап 1.4

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5} + \frac{C}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.5

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5} + \frac{C}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{D}{x - 5}$

Этап 1.6

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель ${(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.8

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.8.2

Разделим $5$ на $1$ .

$5 = \frac{(A) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель ${(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$5 = \frac{A {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) {(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

$5 = (A) {(x - 5)}^{2} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.2

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$5 = A ((x - 5) (x - 5)) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.3

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.4.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$5 = A (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.4.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$5 = A (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.4.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$5 = A (x^{2} - 10 x + 25) + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} + A (- 10 x) + A \cdot 25 + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = A x^{2} - 10 A x + A \cdot 25 + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.6.2

Перенесем $25$ влево от $A$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 \cdot A + \frac{(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.7

Сократим общий множитель ${(x + 5)}^{2}$ и $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(B) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{(x + 5) (B (x + 5) {(x - 5)}^{2})}{x + 5} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.2.1

Умножим на $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{(x + 5) (B (x + 5) {(x - 5)}^{2})}{(x + 5) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.7.2.2

Сократим общий множитель.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{(x + 5) (B (x + 5) {(x - 5)}^{2})}{(x + 5) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.7.2.3

Перепишем это выражение.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{B (x + 5) {(x - 5)}^{2}}{1} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.7.2.4

Разделим $B (x + 5) {(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B (x + 5) {(x - 5)}^{2} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.8

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + B \cdot 5) {(x - 5)}^{2} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.9

Перенесем $5$ влево от $B$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 \cdot B) {(x - 5)}^{2} + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.10

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) ((x - 5) (x - 5)) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.11

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.12.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.12.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.12.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B x + 5 B) (x^{2} - 10 x + 25) + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.13

Развернем $(B x + 5 B) (x^{2} - 10 x + 25)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x \cdot x^{2} + B x (- 10 x) + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B (x^{2} x) + B x (- 10 x) + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.9.14.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{2 + 1} + B x (- 10 x) + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} + B x (- 10 x) + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x \cdot x + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.3.1

Перенесем $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B (x \cdot x) + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x^{2} + B x \cdot 25 + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.4

Перенесем $25$ влево от $B x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x^{2} + 25 \cdot (B x) + 5 B x^{2} + 5 B (- 10 x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x^{2} + 25 B x + 5 B x^{2} + 5 \cdot (- 10 B x) + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.6

Умножим $5$ на $- 10$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x^{2} + 25 B x + 5 B x^{2} - 50 B x + 5 B \cdot 25 + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.14.7

Умножим $25$ на $5$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 10 B x^{2} + 25 B x + 5 B x^{2} - 50 B x + 125 B + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.15

Добавим $- 10 B x^{2}$ и $5 B x^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} + 25 B x - 50 B x + 125 B + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.16

Вычтем $50 B x$ из $25 B x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.17

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.17.1

Сократим общий множитель.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + \frac{(C) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.17.2

Разделим $(C) {(x + 5)}^{2}$ на $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + (C) {(x + 5)}^{2} + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.18

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C ((x + 5) (x + 5)) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.19

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.19.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.20

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.20.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.20.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.20.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.20.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.20.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C (x^{2} + 10 x + 25) + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.21

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + C (10 x) + C \cdot 25 + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.22.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + C \cdot 25 + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.22.2

Перенесем $25$ влево от $C$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 \cdot C + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{x - 5}$

Этап 1.9.23

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ и $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.23.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(D) {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + \frac{(x - 5) ((D) {(x + 5)}^{2} (x - 5))}{x - 5}$

Этап 1.9.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.23.2.1

Умножим на $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + \frac{(x - 5) ((D) {(x + 5)}^{2} (x - 5))}{(x - 5) \cdot 1}$

Этап 1.9.23.2.2

Сократим общий множитель.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + \frac{(x - 5) ((D) {(x + 5)}^{2} (x - 5))}{(x - 5) \cdot 1}$

Этап 1.9.23.2.3

Перепишем это выражение.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + \frac{(D) {(x + 5)}^{2} (x - 5)}{1}$

Этап 1.9.23.2.4

Разделим $(D) {(x + 5)}^{2} (x - 5)$ на $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + (D) {(x + 5)}^{2} (x - 5)$

Этап 1.9.24

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D ((x + 5) (x + 5)) (x - 5)$

Этап 1.9.25

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x - 5)$

Этап 1.9.25.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x - 5)$

Этап 1.9.25.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x - 5)$

Этап 1.9.26

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.26.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.26.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x - 5)$

Этап 1.9.26.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x - 5)$

Этап 1.9.26.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x - 5)$

Этап 1.9.26.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x^{2} + 10 x + 25) (x - 5)$

Этап 1.9.27

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + (D x^{2} + D (10 x) + D \cdot 25) (x - 5)$

Этап 1.9.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.28.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + (D x^{2} + 10 D x + D \cdot 25) (x - 5)$

Этап 1.9.28.2

Перенесем $25$ влево от $D$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + (D x^{2} + 10 D x + 25 \cdot D) (x - 5)$

Этап 1.9.29

Развернем $(D x^{2} + 10 D x + 25 D) (x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot - 5 + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.30.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.30.1.1

Перенесем $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot - 5 + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.30.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot - 5 + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot - 5 + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + D x^{2} \cdot - 5 + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.2

Перенесем $- 5$ влево от $D x^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} - 5 \cdot (D x^{2}) + 10 D x \cdot x + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.30.3.1

Перенесем $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} - 5 D x^{2} + 10 D (x \cdot x) + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} - 5 D x^{2} + 10 D x^{2} + 10 D x \cdot - 5 + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.4

Умножим $- 5$ на $10$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} - 5 D x^{2} + 10 D x^{2} - 50 D x + 25 D x + 25 D \cdot - 5$

Этап 1.9.30.5

Умножим $- 5$ на $25$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} - 5 D x^{2} + 10 D x^{2} - 50 D x + 25 D x - 125 D$

Этап 1.9.31

Добавим $- 5 D x^{2}$ и $10 D x^{2}$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 50 D x + 25 D x - 125 D$

Этап 1.9.32

Добавим $- 50 D x$ и $25 D x$ .

$5 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x - 125 D$

Этап 1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Перенесем $A$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x - 125 D$

Этап 1.10.2

Изменим порядок $B$ и $x^{3}$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 B x^{2} - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x - 125 D$

Этап 1.10.3

Перенесем $B$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 B x + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x - 125 D$

Этап 1.10.4

Перенесем $B$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 x B + 125 B + C x^{2} + 10 C x + 25 C + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x - 125 D$

Этап 1.10.5

Перенесем $25 C$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 x B + 125 B + C x^{2} + 10 C x + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.6

Перенесем $125 B$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 x B + C x^{2} + 10 C x + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.7

Перенесем $25 A$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 x B + C x^{2} + 10 C x + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.8

Перенесем $10 C x$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + B x^{3} - 5 x^{2} B - 25 x B + C x^{2} + D x^{3} + 5 D x^{2} + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.9

Перенесем $- 25 x B$ .

$5 = A x^{2} - 10 x A + B x^{3} - 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + 5 D x^{2} - 25 x B + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.10

Перенесем $- 10 x A$ .

$5 = A x^{2} + B x^{3} - 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + 5 D x^{2} - 10 x A - 25 x B + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.11

Перенесем $C x^{2}$ .

$5 = A x^{2} + B x^{3} - 5 x^{2} B + D x^{3} + C x^{2} + 5 D x^{2} - 10 x A - 25 x B + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.12

Перенесем $- 5 x^{2} B$ .

$5 = A x^{2} + B x^{3} + D x^{3} - 5 x^{2} B + C x^{2} + 5 D x^{2} - 10 x A - 25 x B + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 1.10.13

Перенесем $A x^{2}$ .

$5 = B x^{3} + D x^{3} + A x^{2} - 5 x^{2} B + C x^{2} + 5 D x^{2} - 10 x A - 25 x B + 10 C x - 25 D x + 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + D$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + D$

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = B + D$

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $0 = B + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $B + D = 0$ .

$B + D = 0$

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.1.2

Вычтем $D$ из обеих частей уравнения.

$B = - D$

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$B = - D$

$0 = A - 5 B + C + 5 D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A - 5 B + C + 5 D$ на $- D$ .

$0 = A - 5 (- D) + C + 5 D$

$B = - D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $A - 5 (- D) + C + 5 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$0 = A + 5 D + C + 5 D$

$B = - D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $5 D$ и $5 D$ .

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 10 A - 25 B + 10 C - 25 D$ на $- D$ .

$0 = - 10 A - 25 (- D) + 10 C - 25 D$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим $- 10 A - 25 (- D) + 10 C - 25 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$0 = - 10 A + 25 D + 10 C - 25 D$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.4.1.2

Объединим противоположные члены в $- 10 A + 25 D + 10 C - 25 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.2.1

Вычтем $25 D$ из $25 D$ .

$0 = - 10 A + 10 C + 0$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.4.1.2.2

Добавим $- 10 A + 10 C$ и $0$ .

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$

Этап 3.2.5

Заменим все вхождения $B$ в $5 = 25 A + 125 B + 25 C - 125 D$ на $- D$ .

$5 = 25 A + 125 (- D) + 25 C - 125 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

Этап 3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим $25 A + 125 (- D) + 25 C - 125 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Умножим $- 1$ на $125$ .

$5 = 25 A - 125 D + 25 C - 125 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

Этап 3.2.6.1.2

Вычтем $125 D$ из $- 125 D$ .

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$0 = A + C + 10 D$

$B = - D$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $0 = A + C + 10 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + C + 10 D = 0$ .

$A + C + 10 D = 0$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$A + 10 D = - C$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $10 D$ из обеих частей уравнения.

$A = - C - 10 D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$A = - C - 10 D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$A = - C - 10 D$

$5 = 25 A + 25 C - 250 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $A$ на $- C - 10 D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 25 A + 25 C - 250 D$ на $- C - 10 D$ .

$5 = 25 (- C - 10 D) + 25 C - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $25 (- C - 10 D) + 25 C - 250 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 25 (- C) + 25 (- 10 D) + 25 C - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$5 = - 25 C + 25 (- 10 D) + 25 C - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $- 10$ на $25$ .

$5 = - 25 C - 250 D + 25 C - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$5 = - 25 C - 250 D + 25 C - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $- 25 C - 250 D + 25 C - 250 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1.1

Добавим $- 25 C$ и $25 C$ .

$5 = - 250 D + 0 - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.2.1.2

Добавим $- 250 D$ и $0$ .

$5 = - 250 D - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$5 = - 250 D - 250 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вычтем $250 D$ из $- 250 D$ .

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$0 = - 10 A + 10 C$

$B = - D$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 10 A + 10 C$ на $- C - 10 D$ .

$0 = - 10 (- C - 10 D) + 10 C$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим $- 10 (- C - 10 D) + 10 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 10 (- C) - 10 (- 10 D) + 10 C$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$0 = 10 C - 10 (- 10 D) + 10 C$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4.1.1.3

Умножим $- 10$ на $- 10$ .

$0 = 10 C + 100 D + 10 C$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 10 C + 100 D + 10 C$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4.1.2

Добавим $10 C$ и $10 C$ .

$0 = 20 C + 100 D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 20 C + 100 D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 20 C + 100 D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 20 C + 100 D$

$5 = - 500 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5

Решим относительно $D$ в $5 = - 500 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 500 D = 5$ .

$- 500 D = 5$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 500 D = 5$ на $- 500$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 500 D = 5$ на $- 500$ .

$\frac{- 500 D}{- 500} = \frac{5}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 500 D}{- 500} = \frac{5}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $D$ на $1$ .

$D = \frac{5}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = \frac{5}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = \frac{5}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $5$ и $- 500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$D = \frac{5 (1)}{- 500}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 500$ .

$D = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot - 100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$D = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot - 100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$D = \frac{1}{- 100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = \frac{1}{- 100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = \frac{1}{- 100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$D = - \frac{1}{100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{100}$

$0 = 20 C + 100 D$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $D$ на $- \frac{1}{100}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $D$ в $0 = 20 C + 100 D$ на $- \frac{1}{100}$ .

$0 = 20 C + 100 (- \frac{1}{100})$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{100}$ в числитель.

$0 = 20 C + 100 (\frac{- 1}{100})$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$0 = 20 C + 100 (\frac{- 1}{100})$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - C - 10 D$

$B = - D$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $D$ в $A = - C - 10 D$ на $- \frac{1}{100}$ .

$A = - C - 10 (- \frac{1}{100})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{100}$ в числитель.

$A = - C - 10 (\frac{- 1}{100})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.2

Вынесем множитель $10$ из $- 10$ .

$A = - C + 10 (- 1) (\frac{- 1}{100})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.3

Вынесем множитель $10$ из $100$ .

$A = - C + 10 \cdot (- 1 \frac{- 1}{10 \cdot 10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.4

Сократим общий множитель.

$A = - C + 10 \cdot (- 1 \frac{- 1}{10 \cdot 10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.5

Перепишем это выражение.

$A = - C - 1 (\frac{- 1}{10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

$A = - C - 1 (\frac{- 1}{10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - C - 1 (- \frac{1}{10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.3

Умножим $- 1 (- \frac{1}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = - C + 1 (\frac{1}{10})$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{10}$ на $1$ .

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = - D$

Этап 3.6.5

Заменим все вхождения $D$ в $B = - D$ на $- \frac{1}{100}$ .

$B = - (- \frac{1}{100})$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.6.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Умножим $- (- \frac{1}{100})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{100})$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.6.6.1.2

Умножим $\frac{1}{100}$ на $1$ .

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$0 = 20 C - 1$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.7

Решим относительно $C$ в $0 = 20 C - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $20 C - 1 = 0$ .

$20 C - 1 = 0$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$20 C = 1$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.7.3

Разделим каждый член $20 C = 1$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Разделим каждый член $20 C = 1$ на $20$ .

$\frac{20 C}{20} = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 C}{20} = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.7.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$A = - C + \frac{1}{10}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{1}{20}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = - C + \frac{1}{10}$ на $\frac{1}{20}$ .

$A = - (\frac{1}{20}) + \frac{1}{10}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим $- (\frac{1}{20}) + \frac{1}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A = - \frac{1}{20} + \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{2}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{2}{2}$ .

$A = - \frac{1}{20} + \frac{2}{10 \cdot 2}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8.2.1.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$A = - \frac{1}{20} + \frac{2}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = - \frac{1}{20} + \frac{2}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{- 1 + 2}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.8.2.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$A = \frac{1}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = \frac{1}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = \frac{1}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

$A = \frac{1}{20}$

$C = \frac{1}{20}$

$B = \frac{1}{100}$

$D = - \frac{1}{100}$

Этап 3.9

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{20}, C = \frac{1}{20}, B = \frac{1}{100}, D = - \frac{1}{100}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5} + \frac{C}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{D}{x - 5}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{\frac{1}{20}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{\frac{1}{100}}{x + 5} + \frac{\frac{1}{20}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{- \frac{1}{100}}{x - 5}$