Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 9 x^{2}}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 0 + 8 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 0 - 4 x$ .

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 4$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x^{2} - x + 1 + \frac{4 x - 4}{x^{2} + 4}$