Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{3} - 12 x^{2} - 9 x + 1}{x + 5}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$1$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 15 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 27 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$27 x$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$27 x$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$27 x^{2}$	-	$135 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 27 x^{2} - 135 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$27 x$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$27 x$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$27 x$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$	+	$1$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $126 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$27 x$	+	$126$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$	+	$1$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$27 x$	+	$126$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$	+	$1$
							+	$126 x$	+	$630$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $126 x + 630$ .

				$3 x^{2}$	-	$27 x$	+	$126$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$	+	$1$
							-	$126 x$	-	$630$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$27 x$	+	$126$
$x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$9 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$27 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$27 x^{2}$	+	$135 x$
							+	$126 x$	+	$1$
							-	$126 x$	-	$630$
									-	$629$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{2} - 27 x + 126 - \frac{629}{x + 5}$