Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{4} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{2} + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$5 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{4} - 5 x^{3} + 0 + 5 x$ .

$5 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$0$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$0$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$5 x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 5 x^{2} + 0 + 5$ .

$5 x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$5$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$5 x$	+	$5$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
							-	$5 x^{4}$	+	$5 x^{3}$	-	$0$	-	$5 x$
									+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$0$
									-	$5 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
											+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$5$

Этап 11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x + 5 + \frac{2 x^{2} - 5 x - 5}{x^{3} - x^{2} + 1}$